Phantastische Unendlichkeiten und wo sie zu finden sind

Was ist Unendlichkeit? Und wie können wir Unendlichkeit sichtbar machen? Mathematik und Kunst zeigen uns unterschiedliche Wege – manchmal vereint sich beides zu etwas Phantastischem.

Die Unendlichkeit tritt in der Mathematik auf ganz unterschiedliche Weise in Erscheinung. So stellen wir in der Geometrie Unendlichkeiten als Punkte dar. Das können, je nach Geometrie, unendlich viele unendlich ferne Punkte sein oder nur ein einziger. Stellen wir uns vor, wie wir eine Ebene – ein Blatt Papier – an ihrem Rand in einem unendlichen Punkt zusammenkleben. Wir erhalten eine Kugel! Mathematisch gesprochen fügen wir zu den komplexen Zahlen ein Unendlich hinzu und gelangen zur Riemannschen Zahlenkugel. 

In der komplexen Analysis untersuchen wir Abbildungen von den komplexen Zahlen auf sich selbst, die wir überall ableiten können. Diese erhalten fast überall Winkel und damit Formen. Um mehr interessante Funktionen betrachten zu können, lassen wir auch Unendlich als Wert zu, betrachten also winkeltreue Abbildungen zwischen der komplexen Zahlenebene und der Zahlenkugel. Das klingt jetzt abstrakter als es ist. Denn Sie alle kennen eine solche winkeltreue Abbildung. Wenn Sie eine Straßenkarte eines Onlinedienstes anschauen, betrachten Sie ein winkeltreues Abbild der Erdoberfläche! 

In meiner Forschung zu diskreter komplexer Analysis untersuche ich anstelle der komplexen Zahlenebene ein aus Vierecken bestehendes Zahlengitter. Praktisch gesehen hat dies Vorteile, denn mit solchen diskreten Datenstrukturen können Physikerinnen, die Gittermodelle zum Beispiel zur Beschreibung von Magnetismus benutzen, und Computer, die das Kontinuum von Punkten einer Ebene nicht erfassen können, rechnen. Mathematisch stellt uns das vor Herausforderungen, da Informationen verloren gehen. Ich beschäftige mich damit, wie möglichst viele Strukturen aus der komplexen Analysis auf den diskreten Fall übertragen werden können. Auch die Unendlichkeit taucht hierbei auf, sie versteckt sich jedoch in der diskreten Theorie. 

Mit dem obigen Bild des Mondes wird die Unendlichkeit sichtbar und mein Forschungsgegenstand greifbarer. Dazu setze ich ein normales Bild des Mondes mit dunklem Hintergrund periodisch in alle vier Richtungen fort und überdecke damit die ganze Ebene. Als Abbildung wählte ich die Tangensfunktion, die Sie in der komplexen Zahlenebene wahrscheinlich noch nicht gesehen haben. Das Verhalten auf der mittleren horizontalen Achse, die den reellen Zahlen entspricht, könnte Ihnen aber bekannt vorkommen. In der Mitte, in der Nähe der Null, sehen Sie den Mond fast unverzerrt. Dies entspricht der in der Physik beliebten Näherung tan⁡(z)~z für z~0. Rechts und links daneben, bei ±π/2, sehen wir, wie sich der Mond immer weiter verkleinert und sich unendlich oft wiederholt. An diesen Stellen nimmt die Tangensfunktion den Wert Unendlich an, wir haben die Unendlichkeit sichtbar gemacht! 

Meine winkeltreuen Bilder wurden an verschiedenen Orten in der Schweiz im Rahmen von zwei Ausstellungen präsentiert, die Kunst aus der Wissenschaft zeigten. Sogar auf Berliner Werbetafeln waren die Bilder zu sehen! Auch in der Kunst selbst wurde die Unendlichkeit immer wieder aufgegriffen, sei es konzeptionell in der Fluchtpunktperspektive oder metaphorisch wie im Gemälde »Der Mönch am Meer« von Caspar David Friedrich. Zusammen mit der Kunsthistorikerin Lisa Horstmann-Rehm, Akademieprofessorin der Akademie Mainz, präsentierte ich einer Gruppe interessierter Stipendiatinnen der Studienstiftung des deutschen Volkes, wie sich Konzepte wie die Unendlichkeit sowohl in der Mathematik als auch in der Kunst auf verschiedene Weisen wiederfinden und wie sie miteinander agieren. Mit Mathematik und Kunst gingen wir bis zur Unendlichkeit - und noch viel weiter!

(Felix Günther)